「主人の浮気が発覚しました。子どもも小さく出来れば離婚はしたくないのですが…浮気している側からの離婚申立ては認められないと聞いたことがあるのですが本当なのでしょうか?」

はい。まず浮気した側の配偶者を法的に『有責配偶者』と呼びますが、有責配偶者とは「離婚に至る原因を作り結婚生活を破たんさせた配偶者」のことです。
そして「浮気している側からの離婚申立ては認められるかどうか」についてですが
原則として有責配偶者からの離婚請求の場合に裁判所は離婚を認めません。ただし以下の条件を満たす場合は認められることがあります。
・既に婚姻(夫婦)関係が破綻している。
過去の判例では高校2年生の子供がいる有責配偶者からの離婚請求が認められて7~8年程度の別居状態の場合に認められたケースがあります。
・夫婦の間に経済的に自立出来ない子どもがいない。
この場合必ずしも年齢が基準ではなく過去の判例では高校2年生の子供がいる場合の離婚請求が認められていますが、別居期間中に欠かさず養育費を払ったことを考慮されたと考えられます。
・相手方の配偶者が離婚によって生活が困窮しない。
相手方の配偶者が離婚によって生活が困窮したり精神的に負担が大きい状態に陥ることは社会正義の観点から許されるべきではないと考えられているためですが慰謝料や財産分与などで離婚後の生活を保証する必要があります。

「有責配偶者は離婚請求出来ない」という意味は「有責配偶者が離婚訴訟を起こしても請求が棄却(裁判所が請求を退ける)される」ということですね。
離婚調停は夫婦間で離婚の話し合い(協議)が不可能な場合に家庭裁判所裁判所に間に入ってもらい、調停委員が双方の意見を聞いて離婚や条件などを話し合う手続きなので有責配偶者といえども調停の申立は出来ます。
もし請求された側が離婚を望まないのであれば離婚を拒否すると明確な意思を示せば問題ありません。

はい。ただし相手が有責配偶者であると主張するのであれば「有責配偶者である根拠となる証拠」が必要です。
浮気や不倫などの不貞行為であればLINEのやりとりを写した動画などですが探偵の報告書も当然ながら有効です。